微积分先谈谈积分。我们把积分理解为用极限方法求得的曲线下的面积。如果已知一个正值连续函数y=f(x),例如y=x²或y=1+cosx,我们考察这样一个区域,
计算这个阴影面积A.显然,这样的区域不能分解为矩形或三角形,因而它的面积没有一个可以明显计算的直接表达式。
但是,我们可以求A的近似值。我们把从x=a到x=b的区间分割为许多小区间,并把曲线下的每个小长条用矩形代替。这些矩形面积的总和S给出了A的一个近似值。
如果令分划数为n,显然矩形的个数越多,宽度越小,则近似值就越接近A。
Sn→A,
我们就把由这个极限过程表示的区域的面积A定义为函数f(x)由a到b的积分,用专门的积分号表示,可写成
符号∫,dx和“积分”,都是莱布尼兹为了提示获得极限的方式而创立的。
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